Porquê estudar Matemática?

A Matemática tem um notável potencial de revelação de estruturas e padrões que nos permitem compreender o mundo que nos rodeia.

Quando esses padrões são descobertos, ou inventados, muitas vezes em áreas científicas e tecnológicas aparentemente muito distintas, a Matemática pode ser usada para explicar, medir e controlar processos naturais. A Matemática tem uma influência universal no nosso quotidiano e contribui de forma decisiva para o progresso e bem-estar da humanidade.

Para além da sua beleza intrínseca e do seu conteúdo abstrato (axiomas, teoremas, teorias) a Matemática estimula diversos modos de pensamento, ao mesmo tempo versáteis e potentes, incluindo modelação, simulação, abstração, optimização, análise lógica e dedutiva, inferência a partir de dados, manipulação de símbolos e experimentação. Tem um campo de aplicações praticamente ilimitado, presente em quase todas as áreas do conhecimento humano.

A Matemática não impõe limites à imaginação. É a única ciência com a capacidade de passar das observações das coisas visíveis à imaginação das coisas invisíveis.

Estudar Matemática desenvolve múltiplas capacidades, competências e talento, essenciais a uma integração consistente e bem sucedida no atual mercado de trabalho.

Desenvolve o raciocínio lógico e dedutivo e as capacidades de generalização e abstração

Permite a modelação de situações reais e, através do seu potencial de representação simbólica (fórmulas, equações, gráficos), facilita a sua simulação, medição e controlo

Desenvolve a capacidade de formular e resolver problemas de forma precisa, conduzindo rapidamente ao cálculo, controlo, decisão e resulltados

Desenvolve a criatividade, a versatilidade de adaptação a novas situações e superação de novos desafios

Desenvolve a capacidade de sonhar! Permite imaginar mundos diferentes, e dá também a possibilidade de comunicar esses sonhos de forma clara e não ambígua.

Por tudo isto, ser matemático é enveredar por uma carreira profissional muitíssimo atraente, com um enorme potencial de realização pessoal. Para além das vias de ensino e de investigação pura e aplicada, as formações em Matemática abrem um campo vasto de oportunidades de carreiras profissionais, cada vez mais solicitadas pelas várias entidades empregadoras - empresas, serviços, indústria, finança, seguradoras, etc.

terça-feira, 3 de setembro de 2013

TEOREMA DE PITÁGORAS

Teorema de Pitágoras
Um dos primeiros assuntos da matemática que aprendemos na segunda fase do ensino fundamental é o Teorema de Pitágoras. Que serve para calcular um lado desconhecido do triângulo retângulo, esse triângulo contém um ângulo de 90º e é formado por dois catetos e a hipotenusa, veja no exemplo abaixo.Teorema de Pitágoras
A teoria feita por Pitágoras, afirma que a soma dos quadrados dos catetos, é igual ao quadrado da hipotenusa.
Então temos:  c²= a²+b²
Abaixo alguns exercícios resolvidos  para uma melhor fixação do conteúdo.

Exercícios Resolvidos

1- Calcule o lado X do triângulo.
Teorema de Pitágoras
 x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2 ou 1,41 (√2 = 1,41421356237…)
2- Calcule o lado X do triângulo.
Teorema de Pitágoras
10²= x² + 6²
100= x² + 36
-x²= -100 + 36
x²= 64
x=√64
x=8
3- Calcule qual era a altura do poste.
Teorema de Pitágoras
x²=4²+3²
x²=16+9
x²=25
x=√25
x=5
4- Encontre o qual o tamanho da haste do barco (x + y)
Teorema de Pitágoras
Resposta:
Teorema de Pitágoras
5- Encontre o X

sexta-feira, 23 de agosto de 2013

Exercícios de Porcentagem

Exercícios de Porcentagem

a) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?

d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?

Calcule as porcentagens correspondentes:
e) 2% de 700 laranjas
f) 40% de 48 m
g) 38% de 200 Kg
h) 6% de 50 telhas
i) 37,6% de 200
j) 22,5% de 60

PORCENTAGEM

 É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
  • A gasolina teve um aumento de 15%
    Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
  • O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
    Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
  • Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
    Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
       
    Razão centesimal 
    Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
    Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
    
    As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
    Considere o seguinte problema:

    João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?    Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.


    Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

    Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

    Exemplos:
  • Calcular 10% de 300.        
       
  • Calcular 25% de 200kg.
            
    Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

    EXERCÍCIOS:
    1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
    
    Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

quinta-feira, 15 de agosto de 2013

Progressão Aritmética - P.A.

Progressão Aritmética

Conceito:

Progressão Aritmética é toda sucessão de números onde qualquer termo, a partir do segundo, seu posterior é acrescentado um valor constante. Esse valor constante é indicado por r, e é denominado razão da progressão aritmética.

Exemplos simples
(3, 6, 9 , 12, ...)  é uma P.A. de razão r = 3
(25, 20, 15, 10, ...)  é uma P.A. de razão r = - 5
(7, 7, 7, 7, ...)  é uma P.A. de razão r = 0

A razão de uma P.A. pode ser calculada pela igualdade abaixo:
r = an - an - 1
ou seja
r = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = an - an-1
Lembrando que, segundo a noção de P.A. :
an = an - 1 + r
ou seja
a2 = a1 + r
Classificação:

 Quando r > 0, a P.A. é crescente. Por exemplo:
(3, 6, 9, 12, 15, ...)
r = a2 - a1ondea1 = 3
r = 6 - 3a2 = 6 (a2 = a1 + r  a2 = 3 + 3  a2 = 6)
r = 3a3 = 9 (a3 = a1 + 2r  a3 = 3 + 2(3)  a3 = 3 + 6  a3 = 9)
Concluindo que toda P.A. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior. Assim, temos: an > an - 1

 Quando r < 0, a P.A. é decrescente. Por exemplo:
(15, 12, 9, 6, 3, ...)
r = a2 - a1ondea1 = 15
r = 12 - 15a2 = 12 (a2 = a1 + r → a2 = 15 - 3  a2 = 12)
r = - 3a3 = 9 (a3 = a1 + 2r  a3 = 15 + 2(- 3)  a3 = 15 - 6  a3 = 9)
Concluindo que toda P.A. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior. Assim, temos: an < an - 1

 Quando r = 0, a P.A. é constante ou estacionária. Por exemplo:
(6, 6, 6, 6, ...)
r = a2 - a1ondea1 = 6
r = 6 - 6a2 = 6 (a2 = a1 + r  a2 = 6 + 0  a2 = 6)
r = 0a3 = 6 (a3 = a1 + 2r  a3 = 6 + 2(0) → a3 = 6 + 0  a3 = 6)
Concluindo que toda P.A. constante ou estacionária, tem seus temos iguais entre si.
Assim: ... = (an - 2) = (an - 1) = (an) = (an +1) = (an + 2) = ...


Quadro Geral
P.A. crescente  r > 0
P.A. decrescente  r < 0
P.A. constante  r = 0


Média Aritmética
Em toda P.A., qualquer termo é média aritmética entre seu anterior e seu posterior. Por exemplo:
(5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...)
a3 = (a2 + a4) / 2  a3 = (8 + 14) / 2  a3 = 22 / 2  a3 = 11
ou
a5 = (a4 + a6) / 2  a5 = (14 + 20) / 2  a5 = 34 / 2  a5 = 17
assim
an = [(an - 1) + (an + 1)] / 2
Raciocine um pouco ...
Se (a, b, c) estão em P.A., então b = (a + c) / 2 ou 2b = (a + c) / 2 ou 2 = (a + c) / 2

É bom observar ...
 Em toda P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Por exemplo:
(51015, 20, 2530)
a1 + a6 = 5 + 30 = 35ou seja(a, b, c, d, e, f)
a2 + a5 = 10 + 25 = 35a + f = b + e = c + d
a3 + a4 = 12 + 20 = 35

 Qualquer termo de uma P.A. finita, com exceção dos extremos, é média aritmética entre o anterior e o posterior. Por exemplo:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)
a4 = (a2 + a6) / 2
a4 = (5 + 21) / 2
a4 = 26 / 2
a4 = 13
a4 = (a3 + a5) / 2
a4 = (9 + 17) / 2
a4 = 26 / 2
a4 = 13


Termo Geral da P.A.

Muitas vezes, encontramos P.A. com apenas os primeiros termos, e a partir deles, podemos encontra a razão. Seria ainda melhor, se encontrássemos a partir da razão e do primeiro termo, toda a sequência. Compreenda porque:
r = a2 - a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r 
 a3 = (a1 + r) + r  a3 = a1 + 2r
a4 = a3 + r 
 a4 = (a1 + 2r) + r  a4 = a1 + 3r
( e assim por diante)
Assim, concluímos que an = a1 + (n - 1) . r é a fórmula que rege a demonstração acima, e é denominada como fómula do termo geral da P.A.
Observe que a10 = a5 + 5r, pois ao passar de a4 para a9, avançamos cinco termos. Assim, compreenda:
an = ak + (n - k) . r
a7 = a3 + (7 - 3) . r
a7 = a3 + 4r
Pois ao passar de a3 para a7, avançamos 4 termos.


Soma dos termos de uma P.A. finita

Para calcular a soma dos termos de uma P.A. finita, usaremos a fórmula abaixo.
Sn = [(ak + an) . n] / 2Sn  é o valor da soma dos termos da sequência
ak  é o primeiro termo escolhido da sequência
an  é o último termo escolhido da sequência
n  é a posição do último termo escolhido da sequência
Por exemplo:
Dê a soma dos sete primeiros termos da P.A. (x, 7, 11, ...)
r = a3 - a2
r = 11 - 7
r = 4
Ache o primeiro termo:
a7 = a1 + 6r
a7 = 3 + 6(4)
a7 = 27
Sn = [(ak + an) . n] / 2
Sn = [(3 + 27) . 7] / 2
Sn = [30 . 7] / 2
Sn = 210 / 2
Sn = 105

Interpolação Aritmética

É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma P.A.. A fórmula utilizada é an = ak + (n + k) . r
Por exemplo:
Insira 5 meios aritméticos entre 5 e 17.
Para interpolarmos esses termos a partir do primeiro ou do último, necessitamos da razão. Então:
an = ak + (n - k) . r
17 = 5 + (7 - 1) . r
17 = 5 + 6r
6r = 17 - 5
6r = 12
r = 2
assim(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7)  ( 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17)

sexta-feira, 28 de junho de 2013

Softwares Matemáticos

Abaixo, alguns softwares matemáticos disponíveis na Internet:

1. CalcAreaCirc










Utilizado para o cálculo da área de um círculo a partir da sua subdivisão em fatias.

2. Calques 3D













Disponível em: http://www.uff.br/calques3d/
Utilizado para a aprendizagem da geometria espacial de forma interativa e dinâmica

3. Construfig 3D










Permite a formação e visualização de figuras espaciais a partir de figuras planas, de forma interativa.

4. GeoGebra









Disponível em: www.geogebra.org
Utilizado para a visualização de vários tópicos da álgebra, do cálculo e da geometria.

5. MMC - MDC Geométrico









Utilizado para obter os valores do MMC e MDC através da interpretação geométrica, de forma lúdica.

6. Régua e Compasso











Utilizados para construções geométricas dinâmicas e interativas. 

7. SET











Utilizado para exercícios sobre Trigonometria.

8. Sopolígonos








Utilizado no ensino de polígonos regulares.

9. Triângulos








Utilizado para o estudo dos triângulos.

10. Visualfig 3D










Utilizado para o ensino de áreas e volumes de sólidos geométricos.

11. Wingeom
Utilizado para construções geométricas em duas e três dimensões.

12. Winmat


Utilizado para o cálculo e a edição de matrizes, e para problemas de álgebra linear.

13. Winplot

Utilizado para plotagem de uso geral.












14. Winstats



Utilizados para dados estatísticos.

terça-feira, 4 de junho de 2013

Planificações da Pirâmide



Pesquise e poste o cálculo do volume dessas pirâmides.

Planificação do Paralelepípedo


Pesquise e poste o cálculo do volume do paralelepípedo.

Planificação do Prisma de Base Triangular






Pesquise e poste o cálculo do volume do prisma de base triangular.

Planificação do Prisma de Base Hexagonal



Pesquise e poste o cálculo do volume do prisma de base hexagonal.

Planificação do Prisma de Base Pentagonal



Pesquise e poste o cálculo do volume do prisma de base pentagonal.

quarta-feira, 15 de maio de 2013

Exercícios resolvidos com perímetros, áreas e volumes




Problema 1: Perímetros


Magda pretende cercar vários canteiros retangulares no seu jardim, separados uns dos outros, para plantar flores. Todos os canteiros são retangulares, com 1,2 m de comprimento e 0,5 m de largura. 

Magda tem 23 m de rede.

Quantos canteiros pode a Magda cercar?

P= 2 x 1,2 m + 2 x 0,5 m = 3,4 m

23 m : 3,4 m = 6 canteiros


Sobrou rede? Se sim, quantos metros?

6 x 3,4 m = 20,4 m
23 m - 20,4 m= 2,6 m

Resposta: Sobrou 2,6 m de rede





Problema 2: Áreas

Uma pizza tem 22 cm de raio.
Na pizzaria há caixas com base quadrada com 25 cm, 30 cm, 45 cm e 50 cm. Em que caixas caberá a pizza?
pizza_626930.jpg (626×366)
Área pizza= 3,14 x 22 cm x 22 cm=1519,76 cm2

Área da base quadrada = 25x25= 625 cm2
Área da base quadrada = 30x30= 900 cm2
Área da base quadrada = 45x45= 2025 cm2
Área da base quadrada = 50x50= 2500 cm2
Resposta: Caberá em caixas com 45cm e 50 cm.



Problema 3: Áreas 
Observa a figura.
Determina a área da parte colorida da figura.

Resolução:

Problema 4: Áreas


Qual é a área total das zonas sombreadas da figura?

Área sombreada do [ABFG] = 36 x 1/2 = 18
Área sombreada do [BCDE] = 64 x 3/4 = 48
Área total das zonas sombreadas= 18 + 48 = 66


Qual o comprimento do [FE]? 
O comprimento do [BE]= 8  ( Área do [BCDE]= 8x8=64)
O comprimento do [BF]= 6  ( Área do [ABFG]= 6x6=64)

comprimento do [FE]= comprimento do [BE] - comprimento do [BF]= 8 - 6 = 2

Resposta: 2



Problema 5: Volumes

 Observa as dimensões do novo aquário do Samuel. 


O Samuel decidiu colocar uma camada de areia de 6 cm de espessura no fundo do aquário. 

Que quantidade de areia, em cm3, deverá o Everaldo comprar? 

Vparalelepípedo= C x L x h
V= 50 cm x 30 cm x 6 cm= 9000 cm3



Problema 6: Volumes

Introduziu-se na proveta um paralelepípedo, que ficou completamente submerso.

As dimensões do paralelepípedo são:      
- Comprimento: 8 cm , largura;2 cm,  altura: 3 cm


Qual é a leitura do volume marcado na proveta, depois de colocado na proveta o paralelepípedo?

Volume do paralelepípedo= 8 cm x 2 cm x 3 cm= 48 cm3

leitura do volume= 60 cm3+ 48 cm3 = 108 cm3



Problema 7: Volumes

Na casa da Inês, gastam-se por mês 50 garrafas de 1,5 litros de água. Para ficar mais económico, os seus pais resolveram passar a comprar a água em garrafões de 5 litros. Quantos garrafões são  necessários comprar?

Resolução:
50 x 1,5 = 75 litros
75 litros : 5 litros = 15

Resposta: São necessários comprar 15 garrafões de 5 litros.