Exercícios de Porcentagem

Exercícios de Porcentagem

a) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola? d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? Calcule as porcentagens correspondentes: e) 2% de 700 laranjas f) 40% de 48 m g) 38% de 200 Kg h) 6% de 50 telhas i) 37,6% de 200 j) 22,5% de 60

PORCENTAGEM

 É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

• A gasolina teve um aumento de 15%
  Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
  Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
• Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
  Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
     

    Razão centesimal 

    Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

    Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

    

    As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

    Considere o seguinte problema:

    João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?    Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

    Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

    Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

    Exemplos:

• Calcular 10% de 300.        
     
• Calcular 25% de 200kg.
          Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
  
  
  

    EXERCÍCIOS:

    1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

    

    Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

Progressão Aritmética - P.A.

Progressão Aritmética

Conceito:

Progressão Aritmética é toda sucessão de números onde qualquer termo, a partir do segundo, seu posterior é acrescentado um valor constante. Esse valor constante é indicado por r, e é denominado razão da progressão aritmética.

Exemplos simples

(3, 6, 9 , 12, ...) → é uma P.A. de razão r = 3

(25, 20, 15, 10, ...) → é uma P.A. de razão r = - 5

(7, 7, 7, 7, ...) → é uma P.A. de razão r = 0

A razão de uma P.A. pode ser calculada pela igualdade abaixo:

r = an - an - 1

ou seja

r = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = an - an-1

Lembrando que, segundo a noção de P.A. :

an = an - 1 + r

ou seja

a2 = a1 + r

Classificação:

 Quando r > 0, a P.A. é crescente. Por exemplo:

(3, 6, 9, 12, 15, ...)

r = a2 - a1	onde	a1 = 3
r = 6 - 3		a2 = 6 (a2 = a1 + r → a2 = 3 + 3 → a2 = 6)
r = 3		a3 = 9 (a3 = a1 + 2r → a3 = 3 + 2(3) → a3 = 3 + 6 → a3 = 9)

Concluindo que toda P.A. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior. Assim, temos: a_n > a_{n - 1}

 Quando r < 0, a P.A. é decrescente. Por exemplo:

(15, 12, 9, 6, 3, ...)

r = a2 - a1	onde	a1 = 15
r = 12 - 15		a2 = 12 (a2 = a1 + r → a2 = 15 - 3 → a2 = 12)
r = - 3		a3 = 9 (a3 = a1 + 2r → a3 = 15 + 2(- 3) → a3 = 15 - 6 → a3 = 9)

Concluindo que toda P.A. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior. Assim, temos: a_n < a_{n - 1}

 Quando r = 0, a P.A. é constante ou estacionária. Por exemplo:

(6, 6, 6, 6, ...)

r = a2 - a1	onde	a1 = 6
r = 6 - 6		a2 = 6 (a2 = a1 + r → a2 = 6 + 0 → a2 = 6)
r = 0		a3 = 6 (a3 = a1 + 2r → a3 = 6 + 2(0) → a3 = 6 + 0 → a3 = 6)

Concluindo que toda P.A. constante ou estacionária, tem seus temos iguais entre si.
Assim: ... = (a_{n - 2}) = (a_{n - 1}) = (a_n) = (a_{n +1}) = (a_{n + 2}) = ...

Quadro Geral

P.A. crescente → r > 0

P.A. decrescente → r < 0

P.A. constante → r = 0

Média Aritmética

Em toda P.A., qualquer termo é média aritmética entre seu anterior e seu posterior. Por exemplo:

(5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...)

a3 = (a2 + a4) / 2 → a3 = (8 + 14) / 2 → a3 = 22 / 2 → a3 = 11

ou

a5 = (a4 + a6) / 2 → a5 = (14 + 20) / 2 → a5 = 34 / 2 → a5 = 17

assim

an = [(an - 1) + (an + 1)] / 2

Raciocine um pouco ...

Se (a, b, c) estão em P.A., então b = (a + c) / 2 ou 2b = (a + c) / 2 ou 2 = (a + c) / 2

É bom observar ...

 Em toda P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Por exemplo:

(5, 10, 15, 20, 25, 30)

a1 + a6 = 5 + 30 = 35	ou seja	(a, b, c, d, e, f)
a2 + a5 = 10 + 25 = 35		a + f = b + e = c + d
a3 + a4 = 12 + 20 = 35

 Qualquer termo de uma P.A. finita, com exceção dos extremos, é média aritmética entre o anterior e o posterior. Por exemplo:

(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)

a4 = (a2 + a6) / 2 a4 = (5 + 21) / 2 a4 = 26 / 2 a4 = 13

a4 = (a3 + a5) / 2 a4 = (9 + 17) / 2 a4 = 26 / 2 a4 = 13

Termo Geral da P.A.

Muitas vezes, encontramos P.A. com apenas os primeiros termos, e a partir deles, podemos encontra a razão. Seria ainda melhor, se encontrássemos a partir da razão e do primeiro termo, toda a sequência. Compreenda porque:

r = a₂ - a₁

a₂ = a₁ + r
a₃ = a₂ + r → a₃ = (a₁ + r) + r → a₃ = a₁ + 2r
a₄ = a₃ + r → a₄ = (a₁ + 2r) + r → a₄ = a₁ + 3r
( e assim por diante)

Assim, concluímos que a_n = a₁ + (n - 1) . r é a fórmula que rege a demonstração acima, e é denominada como fómula do termo geral da P.A.

Observe que a₁₀ = a₅ + 5r, pois ao passar de a₄ para a₉, avançamos cinco termos. Assim, compreenda:

a_n = a_k + (n - k) . r
a₇ = a₃ + (7 - 3) . r
a₇ = a₃ + 4r

Pois ao passar de a₃ para a₇, avançamos 4 termos.

Soma dos termos de uma P.A. finita

Para calcular a soma dos termos de uma P.A. finita, usaremos a fórmula abaixo.

Sn = [(ak + an) . n] / 2

Sn → é o valor da soma dos termos da sequência ak → é o primeiro termo escolhido da sequência an → é o último termo escolhido da sequência n → é a posição do último termo escolhido da sequência

Por exemplo:

Dê a soma dos sete primeiros termos da P.A. (x, 7, 11, ...)

r = a3 - a2 r = 11 - 7 r = 4

Ache o primeiro termo: a7 = a1 + 6r a7 = 3 + 6(4) a7 = 27

Sn = [(ak + an) . n] / 2 Sn = [(3 + 27) . 7] / 2 Sn = [30 . 7] / 2 Sn = 210 / 2 Sn = 105

Interpolação Aritmética

É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma P.A.. A fórmula utilizada é an = ak + (n + k) . r

Por exemplo:

Insira 5 meios aritméticos entre 5 e 17.

Para interpolarmos esses termos a partir do primeiro ou do último, necessitamos da razão. Então:

an = ak + (n - k) . r 17 = 5 + (7 - 1) . r 17 = 5 + 6r 6r = 17 - 5 6r = 12 r = 2

assim

(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7) → ( 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17)